ДИНАМИКА СЛУЧАЙНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ФЕРХЮЛЬСТА                                            И МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ 

Журавлев Виктор Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Ульяновский государственный университет (г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42), zhvictorm@gmail.com
Миронов Павел Павлович, аспирант, Научно-исследовательский технологический институт, Ульяновский государственный университет (г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42), museum86@mail.ru

534.04: 536.12: 51-7 

На основе метода Рейнольдса и принципа максимума энтропии анализируется поведение одномерных случайно возмущенных систем, динамика которых описывается уравнением Ферхюльста. Рассматривается интерпретация с точки зрения моделей возмущенного осциллятора с затуханием и
кинетической модели численности населения. К уравнению Ферхюльста применяется метод Рейнольдса. Полученные усредненные уравнения замыкаются при помощи метода максимальной энтропии. Выведен закон сохранения удельной энтропии. Проанализирована устойчивость стационарной точки усредненной модели. Получено аналитическое решение усредненной модели
Ферхюльста. Выявлены общие особенности динамики на основе аналитического решения усредненной системы уравнений. Получено, что динамика уравнения Ферхюльста существенным образом зависит от величины дисперсии шума. При небольших значениях этого параметра модель в среднем эволюционирует вблизи значения, которое удовлетворяет невозмущенному уравнению Ферхюльста. Было показано, что все состояния с ненулевыми дисперсиями оказываются неустойчивыми в общем случае уже в первом порядке теории возмущений, что означает, что очень быстро они переходят в первоначальное невозмущенное состояние. Показано, что аналитическое решение является устойчивым по Ляпунову. 

случайно возмущенное уравнение Ферхюльста, метод Рейнольдса, метод максимальной энтропии. 

1. Ризниченко, Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии / Г. Ю. Ризниченко. – М. ; Ижевск : Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. – Ч. 1. – 231 с.
2. Арнольд, В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели / В. И. Арнольд. – М. : МЦНМО, 2000. – 32 с.
3. Монин, А. С. Статистическая гидромеханика / А. С. Монин, А. М. Яглом. – М. : Наука, 1967. – Ч. 1. – 639 с. ; 1969. – Ч. 2. – 720 с.
4. Журавлев, В. М. Принцип вторичного максимума энтропии и уравнения Рейнольдса в стохастической динамике одномерных нелинейных систем / В. М. Журавлев, В. А. Шляпин // Нелинейный мир. – 2008. – Т. 6, № 7. – C. 352–363.
5. Журавлев, В. М. Турбулентность течений несжимаемой жидкости вблизи локального равновесия и принцип вторичного максимума энтропии / В. М. Журавлев // Журнал теоретической физики. – 2009. – Т. 79, № 1. – С. 16–27.
6. Журавлев, В. М. Прикладная математика и механика / В. М. Журавлев, В. А. Шляпин. – Ульяновск : УлГТУ 2009. – С. 72–88.
7. Журавлев, В. М. Динамика случайно-возмущенной системы Вольтерра – Лотки и метод максимальной энтропии / В. М. Журавлев, П. П. Миронов // Нелинейный мир. – 2011. – Т. 9, № 4. – С. 201–212.
8. Климонтович, Ю. Л. Введение в физику открытых систем / Ю. Л. Климонтович. – М. : Янус-К, 2002. – 284 с.
9. Фриден, Б. Р. Оценки, энтропия, правдоподобие / Б. Р. Фриден // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. – 1985. – Vol. 73, № 12. – Р. 78
10. Стратанович, Р. Л. Теория информации / Р. Л. Стратанович. – М. : Сов. радио, 1975. – 424 с.
11. Базыкин, А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А. Д. Базыкин. – Москва ; Ижевск : ИКИ, 2003. – 368 с.